Cet exercice met en jeu la comparaison de longueur de trois lignes brisées. Il sollicite les élèves dans des registres divers, ce qui permet de considérer que la réussite complète exige de réelles compétences en résolution de problème.

Il faut en effet :

• comprendre la discussion qui oppose les trois enfants, Carine, Jessica et Éric afin d’arbitrer le différent qui les sépare ;
• se forger une opinion quant au chemin le plus court ;
• exprimer cette opinion en nommant l’enfant qui l’a formulée .

La compréhension de la situation ne devrait pas poser de difficulté. Il est plus délicat de se forger une opinion. Les élèves sont plus habitués à comparer des longueurs de segments de droite qu’ à comparer des longueurs de lignes brisées.

La comparaison peut se faire, dans le cas présent, de trois façons différentes qui retentiront sur la difficulté de l’argumentation ultérieure :

• perception visuelle directe : « je vois que c’est plus court par en haut. »
• raisonnement : « il y a un chemin avec deux morceaux, un autre avec trois et le dernier avec quatre ; c’est plus court quand il y a moins de morceaux. »
• expérimentation : « je vais mesurer avec mon double décimètre ou avec une ficelle, ou… »

Pour éviter que la réponse ne soit trop « évidente » (au sens étymologique : du latin videre « voir »), le groupe national a choisi des tracés de longueurs relativement voisines. C’est aussi pour introduire le doute (et la possibilité de débusquer une représentation erronée) qu’il a proposé des lignes brisées comportant deux, trois et quatre segments. Chaque segment a une longueur dont la mesure en cm est un nombre entier, les élèves du cycle 2 n’ayant pas à maîtriser le mesurage de longueurs de segments dans le cas général.

Il y a loin entre le fait d’être convaincu que « Carine a raison » et celui de justifier valablement cette affirmation. Si des élèves ne s’appuient que sur la perception, on pourra avantageusement leur demander de comparer les deux autres chemins : quel est le plus court, du chemin du milieu, ou du chemin qui passe par le bas ? Le débat qui en découlera justifiera le recours à l’expérimentation et la prise de conscience chez les élèves de l’importance de ne pas en rester, sans vérification, à une impression première.
Il faut aussi prendre en compte la difficulté du passage à l’écrit et ne pas négliger de prendre le temps de faire formuler, dans des débats oraux d’arbitrage, des argumentations visant à convaincre les autres élèves, quand ils ont une opinion différente.

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