Dans les exercices 18 et 19, on explore la compréhension des mots « double » et « moitié » ainsi que la maîtrise des doubles des entiers jusqu’à 50 et des moitiés des nombres inférieurs à 50.

Parmi les causes possibles d’erreurs constatées, on peut noter :

• la confusion, systématique ou non, entre double et moitié « Le double de 8, c’est 4 ». À l’occasion de cette confusion, on peut constater des connaissances inattendues en début de CE2 : « La moitié de 7, c’est 3,5 » ;
• l’assimilation du double à « + 2 ». Le double de 3 est 3 + 2 = 5, celui de 7 est 9 ;
• le redoublement du « 0 ». Le double de 50 c’est 500.

Par ailleurs, à cet âge, la plupart des élèves n’associent pas le double à un produit, mais à une somme dont les deux termes sont identiques. Le double de 3 , c’est 3 + 3. Cette conception du double peut produire les erreurs suivantes :

• certains élèves pensent que le double de 5, c’est 5 parce que c’est 5 qu’il faut ajouter à 5 pour obtenir 10 ;
• d’autres élèves pensent que le double de 5, c’est 15 car ils confondent « Prendre le double » et « Ajouter deux fois ».

Au-delà de ces erreurs explicables, on trouve d ‘autres résultats moins lisibles, plus aléatoires ou obéissant à des logiques plus difficiles à identifier.
Un élève qui écrirait que le double de 3 c’est 33 (lire « trois, trois ») serait cohérent avec le doublement de consonnes dans l’écriture. « Doubler », c’est répéter.

Le terme « moitié » présente plus de difficulté de compréhension que le terme « double ». Il sera intéressant de montrer aux élèves que tous les nombres entiers ont des doubles entiers. Mais que tous n’ont pas une moitié exprimée par un nombre entier. Par exemple, à partir d’une bandelette de n carreaux, construire une bandelette « double » et compter ses carreaux. Le problème a toujours une solution quel que soit n.
À partir de la même bandelette de n carreaux, construire la bandelette « moitié » (par pliage), en tirer des règles sur les nombres pairs. On pourra toujours plier en deux. Mais on ne trouvera pas toujours un nombre entier de carreaux pour la bandelette « moitié ».
On pourra également faire jouer les élèves à la « duplication ». On donne un nombre de départ qui est doublé à chaque fois. Ainsi, on pourra s’apercevoir qu’un nombre est à la fois la moitié de son double et le double de sa moitié (quand elle existe). « 8 » est moitié (moitié de 16) ; « 8 » est double (double de 4).
De nombreuses activités numériques, ou géométriques en relation avec la symétrie, ont à voir avec la notion de double et de moitié : par exemple, les dominos, le jeu de l’oie.

L’expérimentation a montré que :

• le nombre 2 a un statut particulier. Les élèves s’autorisent assez peu à le décomposer (exemples de réponses : non réponses fréquentes, 0, 4 …) ;
• certaines moitiés ou certains doubles sont traduits sous forme d’addition. Par exemple, la moitié de 8 est 4 + 4, la moitié de 2 est 1 + 1 ;
• certaines moitiés sont décomposées en deux éléments. Par exemple, la moitié de 8 est 5 + 3 (sans que soit respectée la symétrie des termes).

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